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Exemple de courbe implicite : folium de Descartes

Généralités

• Équation : $x^3+y^3=3axy$ (ici $a=1$). René Descartes l'a étudiée en 1638 et l'a appelée « galand », puis « feuille » (folium) à cause de sa boucle.
• La courbe passe par l'origine, où elle se coupe elle-même : les tangentes en ce point sont les axes. Sa boucle atteint le point $(\frac{3}{2};\frac{3}{2})$, sur la droite $y=x$, qui est un axe de symétrie.
• Les deux branches infinies ont pour asymptote la droite $x+y+1=0$.
• Paramétrage rationnel, en posant $y=tx$ : $x=\frac{3t}{1+t^3}$ et $y=\frac{3t^2}{1+t^3}$.

Tracé avec Tracium

• Courbe implicite : x^3+y^3=3x y.
• Repère orthonormé, zone de travail : x de −3,2 à 3,2.

Courbe

Téléchargement

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe implicite - folium de Descartes (format Tracium 3).