Exemple de courbe implicite : ovales de Cassini

Généralités

Définition : ensemble des points $M$ du plan dont le produit des distances à deux points fixes $F_{1} (- c; 0)$ et $F_{2} (c; 0)$ vaut une constante $a^{2}$ : $M F_{1} \cdot M F_{2} = a^{2}$ . Giovanni Domenico Cassini les a proposées au XVII^e siècle comme trajectoire du Soleil autour de la Terre, à la place des ellipses de Kepler.
Équation cartésienne : ${(x^{2} + y^{2})}^{2} - 2 c^{2} (x^{2} - y^{2}) = a^{4} - c^{4}$ . Ici $c = 1$ : le second membre vaut $a^{4} - 1$ .
Selon la valeur de $a$ par rapport à $c$ , la courbe est d'un seul tenant ( $a > c$ ), une lemniscate de Bernoulli ( $a = c$ , avec un point double à l'origine) ou formée de deux ovales ( $a < c$ ).

Ovale de Cassini, a² > c² :
- Courbe implicite : (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=0.5.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,4 à 2,4.
Lemniscate de Bernoulli :
- Courbe implicite : (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=0.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,4 à 2,4.
Ovales de Cassini, a² < c² :
- Courbe implicite : (x^2+y^2)^2-2(x^2-y^2)=-0.5.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,4 à 2,4.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :