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Exemple de courbe implicite : astroïde (équation implicite)

Généralités

• Équation : $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ (ici $a=1$). Les puissances fractionnaires posent problème aux nombres négatifs ; en élevant au cube, on obtient une forme polynomiale valable partout : ${(x^2+y^2-1)}^3+27x^2{y}^2=0$.
• C'est la même courbe que l'astroïde des courbes classiques, qui y est donnée sous forme paramétrée : $x={\cos }^{3}t$, $y={\sin }^{3}t$.
• Les quatre points de rebroussement sont des points où la courbe n'est pas lisse ; ils sont tracés sans difficulté.

Tracé avec Tracium

• Courbe implicite : (x^2+y^2-1)^3+27x^2 y^2=0.
• Repère orthonormé, zone de travail : x de −1,6 à 1,6.

Courbe

Téléchargement

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe implicite - astroïde (équation implicite) (format Tracium 3).