Exemple de courbe usuelle : logarithme népérien

Généralités

Le logarithme népérien est la primitive de $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $] 0; + \infty [$ qui s'annule en $1$ : $\ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ . Il doit son nom à John Napier (Neper), qui inventa les logarithmes au début du XVII^e siècle.
Il est dérivable, avec $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ , et strictement croissant sur $] 0; + \infty [$ ; $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$ .
Il transforme les produits en sommes : $\ln (a b) = \ln a + \ln b$ , $\ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ et $\ln (a^{n}) = n \ln a$ .
Limites : $\lim_{x \to 0^{+}} \ln x = - \infty$ (l'axe des ordonnées est asymptote) et $\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ , mais sa croissance est plus lente que celle de toute puissance positive de $x$ .
C'est la bijection réciproque de l'exponentielle : sa courbe est la symétrique de $y = e^{x}$ par rapport à la droite $y = x$ .

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe usuelle - logarithme népérien (format Tracium 3).