Exemple de courbe usuelle : coefficients du binôme

Généralités

binom(n, k) est le coefficient du binôme $(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k!}$ , où $n$ est réel et $k$ entier. Pour $n$ entier, c'est le nombre de façons de choisir $k$ éléments parmi $n$ .
Pour $k$ fixé, $x \mapsto (\binom{x}{k})$ est un polynôme de degré $k$ : $(\binom{x}{2}) = \frac{x (x - 1)}{2}$ et $(\binom{x}{3}) = \frac{x (x - 1) (x - 2)}{6}$ . Ces courbes passent par les points $(n; (\binom{n}{k}))$ du triangle de Pascal, et s'annulent en $0, 1, \dots, k - 1$ .
Les coefficients binomiaux interviennent dans la formule du binôme $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{k} b^{n - k}$ , et, pour $n$ réel, dans le développement en série de $(1 + x)^{n}$ .

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe usuelle - coefficients du binôme (format Tracium 3).