Exemple de courbe supplémentaire : strophoïde droite

Généralités

Équation cartésienne : $y^{2} (a + x) = x^{2} (a - x)$ (ici $a = 1$ ).
Représentation paramétrique : ${\begin{matrix} x = a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = a t \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \end{matrix}$ .
Étudiée au xvii^e siècle, notamment par Torricelli et Barrow, elle reçut son nom au xix^e siècle, du grec strophos, « bande tordue ».
L'origine est un point double, où les tangentes sont les droites $y = x$ et $y = - x$ , perpendiculaires (d'où le nom de strophoïde droite). La boucle coupe l'axe des abscisses en $(a; 0)$ ; la droite $x = - a$ est asymptote.
Aire de la boucle : $a^{2} (2 - \frac{π}{2})$ ; aire comprise entre les branches infinies et l'asymptote : $a^{2} (2 + \frac{π}{2})$ .

Courbe paramétrée, en gris : x = -1, y = t, pour t de -100 à 100.
Courbe paramétrée, en vert : x = (1 - t^2)/(1 + t^2), y = t*(1 - t^2)/(1 + t^2), pour t de -20 à 20.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,5 à 2,5.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe supplémentaire - strophoïde droite (format Tracium 3).