Exemple de courbe supplémentaire : épitrochoïdes et hypotrochoïdes

Généralités

Un cercle de rayon $r$ roule sans glisser sur un cercle fixe de rayon $R$ ; on suit un point lié au cercle mobile, à la distance $d$ de son centre. Si le cercle roule à l'intérieur, le point décrit une hypotrochoïde : ${\begin{matrix} x = (R - r) \cos t + d \cos (\frac{R - r}{r} t) \\ y = (R - r) \sin t - d \sin (\frac{R - r}{r} t) \end{matrix}$
S'il roule à l'extérieur, le point décrit une épitrochoïde : ${\begin{matrix} x = (R + r) \cos t - d \cos (\frac{R + r}{r} t) \\ y = (R + r) \sin t - d \sin (\frac{R + r}{r} t) \end{matrix}$
Pour $R$ et $r$ entiers, la courbe se referme quand $t$ atteint $\frac{2 π r}{pgcd (R, r)}$ .
Pour $d = r$ , le point est sur le cercle mobile : on retrouve les hypocycloïdes (astroïde, deltoïde) et les épicycloïdes (cardioïde, néphroïde). Pour $R = 2 r$ , l'hypotrochoïde est une ellipse.
Ce sont les figures du Spirographe, jouet à roues dentées inventé par l'ingénieur britannique Denys Fisher et commercialisé en 1965.

Hypotrochoïde R = 5, r = 3, d = 5 :
- Courbe paramétrée : x = 2cos(t) + 5cos(2t/3), y = 2sin(t) - 5sin(2t/3), pour t de 0 à 6pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −13 à 13.
Hypotrochoïde R = 7, r = 4, d = 3 :
- Courbe paramétrée : x = 3cos(t) + 3cos(3t/4), y = 3sin(t) - 3sin(3t/4), pour t de 0 à 8pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −11 à 11.
Épitrochoïde R = 4, r = 1, d = 2 :
- Courbe paramétrée : x = 5cos(t) - 2cos(5t), y = 5sin(t) - 2sin(5t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −12 à 12.
Pour que la courbe se referme, l'intervalle du paramètre doit couvrir toute la période : $6 π$ pour $R = 5$ , $r = 3$ , et $8 π$ pour $R = 7$ , $r = 4$ .

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :