Exemple de courbe supplémentaire : fonctions sin(1/x), x sin(1/x) et x² sin(1/x)

Généralités

$x \mapsto \sin \frac{1}{x}$ est définie sur $ℝ^{*}$ et s'annule en chaque point $\frac{1}{k π}$ , $k \in ℤ^{*}$ : ces zéros s'accumulent en $0$ . Elle n'a pas de limite en $0$ , et ne peut donc pas être prolongée par continuité ; son graphe est la « courbe sinus du topologue », exemple classique d'ensemble connexe mais non connexe par arcs.
$x \mapsto x \sin \frac{1}{x}$ vérifie $| x \sin \frac{1}{x} | \leq | x |$ : elle tend vers $0$ en $0$ et se prolonge par continuité en posant $f (0) = 0$ . Mais le taux d'accroissement $\frac{f (h) - f (0)}{h} = \sin \frac{1}{h}$ n'a pas de limite : elle n'est pas dérivable en $0$ .
$x \mapsto x^{2} \sin \frac{1}{x}$ , prolongée par $f (0) = 0$ , est dérivable en $0$ avec $f^{'} (0) = 0$ . Pour $x \neq 0$ , $f^{'} (x) = 2 x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$ , qui n'a pas de limite en $0$ : c'est une fonction dérivable dont la dérivée n'est pas continue.

Fonction sin(1/x) :
- Courbe cartésienne : y = sin(1/x).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,3 à 2,3.
Fonction x sin(1/x) :
- Courbe cartésienne, en gris : y = x.
- Courbe cartésienne, en gris : y = -x.
- Courbe cartésienne, en bleu : y = x*sin(1/x).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −0,6 à 0,6.
Fonction x² sin(1/x) :
- Courbe cartésienne, en gris : y = x^2.
- Courbe cartésienne, en gris : y = -x^2.
- Courbe cartésienne, en vert : y = x^2*sin(1/x).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −0,4 à 0,4.
Près de $0$ , les oscillations deviennent infiniment serrées : aucun tracé ne peut toutes les montrer, et la courbe finit par remplir la bande. Tracium affine automatiquement le calcul là où la courbe varie vite.
Pour $x^{2} \sin \frac{1}{x}$ , la dérivée calculée par Tracium est 2*x*sin(1/x) - cos(1/x), soit $2 x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$ .

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :