Exemple de courbe supplémentaire : fonction plate e^(−1/x²)

Généralités

$f (x) = e^{- 1 / x^{2}}$ pour $x \neq 0$ et $f (0) = 0$ . Elle est paire, strictement positive pour $x \neq 0$ , croissante sur $[0; + \infty [$ , de limite $1$ en $\pm \infty$ . Elle est continue en $0$ car $- \frac{1}{x^{2}} \to - \infty$ .
Pour $x \neq 0$ , $f^{'} (x) = \frac{2}{x^{3}} e^{- 1 / x^{2}}$ , et plus généralement $f^{(n)} (x) = P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1 / x^{2}}$ où $P_{n}$ est un polynôme. Or $\frac{1}{x^{k}} e^{- 1 / x^{2}} \to 0$ en $0$ pour tout entier $k$ (poser $u = \frac{1}{x^{2}}$ : $u^{k / 2} e^{- u} \to 0$ ). Par récurrence, toutes les dérivées de $f$ existent en $0$ et y valent $0$ : $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $ℝ$ avec $f^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n$ .
Sa série de Taylor en $0$ est donc la série nulle, dont la somme est nulle partout, alors que $f (x) \neq 0$ dès que $x \neq 0$ : $f$ est de classe $C^{\infty}$ mais non analytique en $0$ . Elle est plate en $0$ : $f (x) = o (x^{n})$ pour tout $n$ . L'exemple est dû à Cauchy (1823).
La fonction plateau $g (x) = e^{- 1 / x}$ pour $x > 0$ , $g (x) = 0$ pour $x \leq 0$ , est elle aussi de classe $C^{\infty}$ . Avec $h (x) = \frac{g (x)}{g (x) + g (1 - x)}$ , on obtient une fonction $C^{\infty}$ qui vaut $0$ pour $x \leq 0$ , $1$ pour $x \geq 1$ et croît strictement entre les deux : c'est la brique de base des fonctions « bosses » et des partitions de l'unité $C^{\infty}$ , très utilisées en analyse et en géométrie différentielle.

Fonction e^(−1/x²) :
- Courbe cartésienne : y = exp(-1/x^2).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Comparaison avec x² et x⁴ :
- Courbe cartésienne, en gris : y = x^2.
- Courbe cartésienne, en gris : y = x^4.
- Courbe cartésienne, en bleu : y = exp(-1/x^2).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −1,2 à 1,2.
Fonction plateau :
- Courbe cartésienne : y = x > 0 ? exp(-1/x) : 0.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 4.
La dérivée de $f$ calculée par Tracium est 2*exp(-1/x^2)/x^3, soit $\frac{2}{x^{3}} e^{- 1 / x^{2}}$ . Elle n'est pas définie en $0$ (forme $\frac{0}{0}$ ), alors que $f^{'} (0) = 0$ : la formule ne donne pas la dérivée en ce point.
La courbe de $f$ est indiscernable de l'axe des abscisses pour $| x | < 0,4$ environ : $f (0,3) \approx 1,5 \times 10^{- 5}$ est bien plus petit qu'un pixel. Elle n'est pourtant nulle qu'en $0$ .
Pour la fonction plateau, saisir x > 0 ? exp(-1/x) : 0 (opérateur conditionnel) ; l'outil « Polynôme de Taylor » ne peut pas calculer les dérivées de $f$ en $0$ (même forme indéterminée), alors que le polynôme de Taylor de $f$ en $0$ est nul à tout ordre.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :