Exemple de courbe supplémentaire : courbes de Lamé

Généralités

Équation cartésienne : ${| \frac{x}{a} |}^{n} + {| \frac{y}{b} |}^{n} = 1$ , avec $n > 0$ (ici $a = b = 1$ ). Gabriel Lamé les étudia en 1818.
Représentation paramétrique : ${\begin{matrix} x = a sgn (\cos t) | \cos t |^{\frac{2}{n}} \\ y = b sgn (\sin t) | \sin t |^{\frac{2}{n}} \end{matrix}$ .
Pour $n = 2$ , on obtient une ellipse (un cercle si $a = b$ ) ; pour $n = 1$ , un losange ; pour $n < 1$ , une étoile à quatre branches concaves ( $n = \frac{2}{3}$ donne l'astroïde) ; quand $n$ augmente, la courbe se rapproche du rectangle $[- a; a] \times [- b; b]$ .
Pour $n > 2$ , on parle de superellipse. Le poète et mathématicien danois Piet Hein les popularisa dans les années 1960 : la place Sergels torg, à Stockholm, a la forme d'une superellipse d'exposant $n = 2,5$ .

Courbe paramétrée, en rouge : x = sgn(cos(t))*abs(cos(t))^4, y = sgn(sin(t))*abs(sin(t))^4, pour t de 0 à 2pi.
Courbe paramétrée, en orange : x = sgn(cos(t))*abs(cos(t))^2, y = sgn(sin(t))*abs(sin(t))^2, pour t de 0 à 2pi.
Courbe paramétrée, en violet : x = cos(t), y = sin(t), pour t de 0 à 2pi.
Courbe paramétrée, en bleu : x = sgn(cos(t))*abs(cos(t))^(1/2), y = sgn(sin(t))*abs(sin(t))^(1/2), pour t de 0 à 2pi.
Courbe paramétrée, en vert : x = sgn(cos(t))*abs(cos(t))^(1/5), y = sgn(sin(t))*abs(sin(t))^(1/5), pour t de 0 à 2pi.
Tracium calcule x^(1/3) pour $x < 0$ , mais pas x^(1/2) : pour tracer toutes ces courbes avec une même formule, on écrit la puissance d'une valeur absolue et on rétablit le signe avec sgn.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe supplémentaire - courbes de Lamé (format Tracium 3).