Exemple de courbe supplémentaire : série de Fourier d'un signal carré

Généralités

Joseph Fourier montra, dans ses travaux sur la propagation de la chaleur (1807, publiés en 1822), qu'une fonction périodique peut s'écrire comme une somme de sinusoïdes. Pour le signal carré $sgn (\sin x)$ : $sgn (\sin x) = \frac{4}{π} (\sin x + \frac{\sin 3 x}{3} + \frac{\sin 5 x}{5} + \dots) = \frac{4}{π} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sin (2 k + 1) x}{2 k + 1}$ .
Seules les harmoniques impaires interviennent, avec une amplitude inversement proportionnelle à leur rang. La série converge vers $1$ ou $- 1$ en chaque point de continuité, et vers $0$ , la moyenne des deux valeurs, aux points de saut $k π$ .
Près de chaque saut, les sommes partielles dépassent le signal d'environ 9 % de la hauteur du saut, soit un maximum proche de $1,179$ . Ce dépassement ne disparaît pas quand on ajoute des termes : il se resserre contre le saut. C'est le phénomène de Gibbs, décrit par Henry Wilbraham en 1848 puis par Josiah Willard Gibbs en 1899.
La décomposition en série de Fourier est la base de l'analyse spectrale : acoustique, électronique, compression du son et des images…

Courbe cartésienne, en gris : y = sgn(sin(x)).
Courbe cartésienne, en bleu : y = 4/pi*sin(x).
Courbe cartésienne, en vert : y = 4/pi*(sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5).
Courbe cartésienne, en rouge : y = 4/pi*(sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 + sin(11x)/11 + sin(13x)/13 + sin(15x)/15 + sin(17x)/17 + sin(19x)/19).
Chaque somme partielle est une courbe cartésienne, saisie terme à terme ; celle à 10 termes va jusqu'à sin(19x)/19.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −5 à 5.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe supplémentaire - série de Fourier d'un signal carré (format Tracium 3).