Exemple de courbe supplémentaire : conchoïde de Nicomède

Généralités

Construction : on se donne un point $O$ et une droite $D$ située à la distance $a$ de $O$ . Pour toute droite passant par $O$ et coupant $D$ en $M$ , on place de part et d'autre de $M$ les deux points $P$ tels que $M P = b$ : leur lieu est la conchoïde.
Équation polaire : $r = \frac{a}{\cos θ} + b$ ; équation cartésienne : $(x - a)^{2} (x^{2} + y^{2}) = b^{2} x^{2}$ (ici $a = 1$ ).
Le mathématicien grec Nicomède l'imagina au ii^e siècle av. J.-C. pour résoudre deux des grands problèmes de l'Antiquité : la trisection de l'angle et la duplication du cube.
La courbe a deux branches, qui admettent toutes deux la droite $D$ ( $x = a$ ) pour asymptote. La branche intérieure présente en $O$ un point double (une boucle) si $b > a$ , un point de rebroussement si $b = a$ , et ne passe pas par $O$ si $b < a$ .

Courbe paramétrée, en gris : x = 1, y = t, pour t de -100 à 100.
Courbe polaire, en bleu : r = 1/cos(θ) + 0.5, pour θ de 0 à 2pi.
Courbe polaire, en violet : r = 1/cos(θ) + 1, pour θ de 0 à 2pi.
Courbe polaire, en rouge : r = 1/cos(θ) + 2, pour θ de 0 à 2pi.
Une seule courbe polaire, pour θ de $0$ à $2 π$ , donne les deux branches : la branche extérieure pour $\cos θ > 0$ , la branche intérieure pour $\cos θ < 0$ . Tracium détecte les passages à l'infini en $θ = \pm \frac{π}{2}$ et ne relie pas les branches.
L'asymptote verticale est tracée comme une courbe paramétrée : x = 1, y = t.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −3 à 5.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe supplémentaire - conchoïde de Nicomède (format Tracium 3).