Exemple de courbe supplémentaire : sinus cardinal, gaussienne et sigmoïde

Généralités

Sinus cardinal : $sinc x = \frac{\sin x}{x}$ , prolongé par $sinc 0 = 1$ . Il s'annule en $k π$ , $k \neq 0$ , et ses oscillations s'amortissent comme $\frac{1}{x}$ . Son intégrale sur $ℝ$ vaut $π$ . En optique, l'intensité de la lumière diffractée par une fente est proportionnelle à ${sinc}^{2}$ .
Gaussienne : $x \mapsto e^{- x^{2}}$ , paire, de dérivée $- 2 x e^{- x^{2}}$ , avec deux points d'inflexion en $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ . Son intégrale sur $ℝ$ vaut $\sqrt{π}$ ; convenablement normalisée, elle donne la densité de la loi normale, omniprésente en probabilités et en statistiques.
Sigmoïde logistique : $σ (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}$ , croissante de $0$ à $1$ , avec $σ (0) = \frac{1}{2}$ et $σ^{'} (x) = σ (x) (1 - σ (x))$ . Introduite par Pierre-François Verhulst en 1838 pour modéliser la croissance d'une population, elle sert aujourd'hui en régression logistique et dans les réseaux de neurones.

Sinus cardinal :
- Courbe cartésienne : y = sin(x)/x. Dérivée calculée par Tracium : (x*cos(x) - sin(x))/x^2.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −7 à 7.
Gaussienne :
- Courbe cartésienne : y = exp(-x^2). Dérivée calculée par Tracium : -2*x*exp(-x^2).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −3 à 3.
Sigmoïde :
- Courbe cartésienne : y = 1/(1 + exp(-x)). Dérivée calculée par Tracium : exp(-x)/(exp(-x) + 1)^2.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −6 à 6.
Les dérivées affichées ci-dessus sont calculées puis simplifiées par Tracium à partir de la formule saisie.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :