Exemple de courbe supplémentaire : cissoïde de Dioclès

Généralités

Équation cartésienne : $y^{2} (2 a - x) = x^{3}$ ; équation polaire : $r = 2 a \sin θ \tan θ$ (ici $a = 1$ ).
Représentation paramétrique, en posant $t = \frac{y}{x}$ : ${\begin{matrix} x = \frac{2 a t^{2}}{1 + t^{2}} \\ y = \frac{2 a t^{3}}{1 + t^{2}} \end{matrix}$ .
Le géomètre grec Dioclès l'utilisa vers 180 av. J.-C. pour la duplication du cube : construire le côté d'un cube de volume double d'un cube donné, soit $\sqrt[3]{2}$ fois son côté. Son nom vient du grec kissos, le lierre.
Construction : on considère un cercle de diamètre $[O A]$ , avec $O A = 2 a$ , et sa tangente en $A$ . Une droite issue de $O$ recoupe le cercle en $M$ et la tangente en $N$ ; le point $P$ de cette droite tel que $O P = M N$ décrit la cissoïde.
L'origine est un point de rebroussement, et la tangente au cercle en $A$ ( $x = 2 a$ ) est asymptote. L'aire comprise entre la courbe et son asymptote vaut $3 π a^{2}$ , soit trois fois l'aire du cercle.

Courbe paramétrée, en gris : x = 2, y = t, pour t de -100 à 100.
Courbe paramétrée, en bleu : x = 2t^2/(1 + t^2), y = 2t^3/(1 + t^2), pour t de -20 à 20.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −3 à 5.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe supplémentaire - cissoïde de Dioclès (format Tracium 3).