Exemple de courbe classique : spirales d'Archimède, logarithmique et de Fermat

Généralités

Spirale d'Archimède : $r = a θ$ . Archimède l'étudia vers 225 av. J.-C. dans son traité Des spirales et s'en servit pour la trisection de l'angle et la quadrature du cercle. La distance entre deux spires successives est constante, égale à $2 π a$ : c'est la forme d'un sillon de disque vinyle ou d'un ressort spiral.
Spirale logarithmique : $r = a e^{b θ}$ . L'angle entre la tangente et le rayon vecteur est constant, d'où son autre nom de spirale équiangulaire. Jacques Bernoulli, qui l'appelait spira mirabilis, souhaitait la voir gravée sur sa tombe avec la devise Eadem mutata resurgo ; le graveur y dessina… une spirale d'Archimède.
La spirale logarithmique est semblable à elle-même : une rotation revient à un agrandissement. Elle s'enroule une infinité de fois autour du pôle quand $θ \to - \infty$ , avec pourtant une longueur finie. On la retrouve, approximativement, dans la coquille du nautile, les bras des galaxies spirales ou la trajectoire d'approche du faucon.
Spirale de Fermat : $r^{2} = a^{2} θ$ , c'est-à-dire $r = \pm a \sqrt{θ}$ (spirale parabolique). Étudiée par Fermat en 1636, elle délimite des aires égales entre spires successives. Elle sert de modèle à la disposition des graines de tournesol.

Spirale d'Archimède :
- Courbe polaire : r = θ, pour θ de 0 à 4pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −17,5 à 17,5.
Spirale logarithmique :
- Courbe polaire : r = exp(0.15θ), pour θ de -6pi à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −5 à 5.
Spirale de Fermat :
- Courbe polaire, en bleu : r = sqrt(θ), pour θ de 0 à 6pi.
- Courbe polaire, en vert : r = -sqrt(θ), pour θ de 0 à 6pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −8 à 8.
La spirale de Fermat demande deux courbes, une pour chaque signe de $r$ : Tracium trace les rayons négatifs du côté opposé au pôle, ce qui donne la seconde branche, symétrique de la première par rapport au pôle.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :