Exemple de courbe classique : rosaces

Généralités

Équation polaire : $r = a \cos (k θ)$ (ici $a = 1$ ). Ces courbes, aussi appelées rhodonea, ont été étudiées par le mathématicien italien Guido Grandi entre 1723 et 1728.
Pour $k$ entier, la rosace a $k$ pétales si $k$ est impair et $2 k$ pétales si $k$ est pair ; chaque pétale a pour longueur $a$ et tous se rejoignent au pôle.
Pour $k = \frac{p}{q}$ rationnel (fraction irréductible), la courbe se referme après un nombre fini de tours et ses pétales se chevauchent ; pour $k$ irrationnel, elle ne se referme jamais et finit par remplir le disque de rayon $a$ .
Aire délimitée, pour $k$ entier : $\frac{π a^{2}}{4}$ si $k$ est impair, $\frac{π a^{2}}{2}$ si $k$ est pair.
Exemple d'équation cartésienne, pour $k = 2$ : ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = a^{2} {(x^{2} - y^{2})}^{2}$ .

Rosace à quatre pétales :
- Courbe polaire : r = cos(2θ), pour θ de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Rosace à trois pétales :
- Courbe polaire : r = cos(3θ), pour θ de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Rosace à cinq pétales :
- Courbe polaire : r = cos(5θ), pour θ de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Rosace r = cos(5θ/3) :
- Courbe polaire : r = cos(5θ/3), pour θ de 0 à 6pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Pour $k$ entier, l'intervalle $[0; 2 π]$ suffit. Pour $k = \frac{5}{3}$ , il faut aller jusqu'à $6 π$ pour que la courbe se referme (et augmenter le nombre de points de calcul).

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :