Exemple de courbe classique : courbes de Lissajous

Généralités

Représentation paramétrique : ${\begin{matrix} x = A \sin (a t + δ) \\ y = B \sin (b t) \end{matrix}$ ; ici $A = B = 1$ et $δ = \frac{π}{2}$ , soit $x = \cos (a t)$ et $y = \sin (b t)$ .
Ce sont les trajectoires résultant de la composition de deux mouvements vibratoires perpendiculaires. Étudiées par Nathaniel Bowditch en 1815, elles portent le nom de Jules Lissajous, qui les obtint en 1857 en faisant réfléchir un rayon lumineux sur deux diapasons.
La courbe est fermée si et seulement si le rapport $\frac{a}{b}$ est rationnel ; elle est alors inscrite dans le rectangle $[- A; A] \times [- B; B]$ et touche ses côtés verticaux $b$ fois et ses côtés horizontaux $a$ fois (pour $\frac{a}{b}$ irréductible).
Sur un oscilloscope, elles permettent de comparer deux fréquences et de mesurer leur déphasage. Le logo de l'Australian Broadcasting Corporation est une courbe de Lissajous.

Courbe de Lissajous 1:2 :
- Courbe paramétrée : x = cos(t), y = sin(2t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Courbe de Lissajous 3:2 :
- Courbe paramétrée : x = cos(3t), y = sin(2t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Courbe de Lissajous 5:4 :
- Courbe paramétrée : x = cos(5t), y = sin(4t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :