Exemple de courbe classique : limaçons de Pascal

Généralités

Équation polaire : $r = b + a \cos θ$ (ici $a = 1$ et $b$ variable).
Équation cartésienne : ${(x^{2} + y^{2} - a x)}^{2} = b^{2} (x^{2} + y^{2})$ .
Ces courbes doivent leur nom à Étienne Pascal, le père de Blaise, qui les étudia dans les années 1630 ; c'est Gilles Personne de Roberval qui les baptisa ainsi. Un limaçon est la conchoïde d'un cercle par rapport à l'un de ses points : on prolonge chaque corde issue de ce point d'une longueur constante $b$ .
Leur forme dépend du rapport $\frac{b}{a}$ : pour $b < a$ , une boucle intérieure apparaît (le pôle est un point double) ; pour $b = a$ , on obtient la cardioïde, avec un point de rebroussement ; pour $a < b < 2 a$ , le limaçon est échancré ; pour $b \geq 2 a$ , il est convexe.
Pour $b \geq a$ , l'aire délimitée vaut $A = π (b^{2} + \frac{a^{2}}{2})$ .

Courbe polaire, en rouge : r = 0.5 + cos(θ), pour θ de 0 à 2pi.
Courbe polaire, en violet : r = 1 + cos(θ), pour θ de 0 à 2pi.
Courbe polaire, en bleu : r = 1.5 + cos(θ), pour θ de 0 à 2pi.
Courbe polaire, en vert : r = 2 + cos(θ), pour θ de 0 à 2pi.
Pour $b < a$ , $r$ devient négatif quand $\cos θ < - \frac{b}{a}$ : Tracium place alors le point à l'opposé, ce qui dessine la boucle intérieure.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −3,6 à 5,6.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe classique - limaçons de Pascal (format Tracium 3).