Exemple de courbe classique : lemniscate de Bernoulli

Généralités

Équation polaire : $r^{2} = a^{2} \cos 2 θ$ (ici $a = 1$ ).
Équation cartésienne : ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = a^{2} (x^{2} - y^{2})$ .
Étudiée par Jacques Bernoulli en 1694, c'est le lieu des points $M$ dont le produit des distances à deux points fixes $F (c, 0)$ et $F^{'} (- c, 0)$ est constant et égal à $c^{2}$ , avec $c = \frac{a}{\sqrt{2}}$ : c'est un cas particulier des ovales de Cassini.
L'origine est un point double, où la courbe se croise avec les tangentes $y = x$ et $y = - x$ .
Aire des deux boucles : $A = a^{2}$ ; longueur : $L = 2 ϖ a \approx 5,244 a$ , où $ϖ \approx 2,622$ est la constante de la lemniscate.

Courbe polaire : r = sqrt(cos(2θ)), pour θ de 0 à 2pi.
La racine carrée n'est définie que là où $\cos 2 θ \geq 0$ : Tracium localise précisément les bords de ce domaine, ce qui referme proprement chaque boucle sur l'origine.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −1,3 à 1,3.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe classique - lemniscate de Bernoulli (format Tracium 3).