Exemple de courbe classique : folium de Descartes

Généralités

Équation cartésienne : $x^{3} + y^{3} = 3 a x y$ (ici $a = 1$ ).
Représentation paramétrique, obtenue en posant $t = \frac{y}{x}$ : ${\begin{matrix} x = \frac{3 a t}{1 + t^{3}} \\ y = \frac{3 a t^{2}}{1 + t^{3}} \end{matrix}$ , pour $t \neq - 1$ .
Descartes proposa cette courbe en 1638 à Fermat, pour mettre à l'épreuve sa méthode de calcul des tangentes ; Fermat résolut le problème sans difficulté. Son nom, qui signifie « feuille », vient de la forme de sa boucle.
La courbe est symétrique par rapport à la droite $y = x$ , qu'elle coupe en $(\frac{3 a}{2}; \frac{3 a}{2})$ , sommet de la boucle. L'origine est un point double, où les deux axes sont tangents à la courbe.
La droite $x + y + a = 0$ est asymptote aux deux branches infinies. L'aire de la boucle vaut $\frac{3 a^{2}}{2}$ , tout comme l'aire comprise entre les branches infinies et l'asymptote.

Courbe cartésienne, en gris : y = -x - 1.
Courbe paramétrée, en rouge : x = 3t/(1 + t^3), y = 3t^2/(1 + t^3), pour t de -40 à 40.
Le paramètre n'est pas défini pour $t = - 1$ , où le point part à l'infini : Tracium interrompt le tracé à cet endroit au lieu de relier les deux branches. L'intervalle de $- 40$ à $40$ suffit à approcher le pôle aux deux extrémités.
L'asymptote est tracée comme une courbe cartésienne supplémentaire : y = -x - 1.
Repère orthonormé, zone de travail : x de −3,25 à 3,75.

Le fichier permettant de reproduire avec Tracium le tracé ci-dessus est disponible : courbe classique - folium de Descartes (format Tracium 3).