Exemple de courbe classique : deltoïde et néphroïde

Généralités

Deltoïde : ${\begin{matrix} x = 2 a \cos t + a \cos 2 t \\ y = 2 a \sin t - a \sin 2 t \end{matrix}$ (ici $a = 1$ ). C'est l'hypocycloïde à trois points de rebroussement : la trajectoire d'un point d'un cercle de rayon $a$ qui roule à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon $3 a$ . Étudiée par Euler en 1745 puis par Steiner, elle doit son nom à sa ressemblance avec la lettre grecque delta.
Longueur de la deltoïde : $L = 16 a$ ; aire : $A = 2 π a^{2}$ . Chacune de ses tangentes coupe la courbe selon un segment de longueur constante $4 a$ , qui peut tourner à l'intérieur de la deltoïde en restant tangent : c'est un exemple célèbre du problème de l'aiguille de Kakeya.
Néphroïde : ${\begin{matrix} x = 3 a \cos t - a \cos 3 t \\ y = 3 a \sin t - a \sin 3 t \end{matrix}$ (ici $a = 1$ ). C'est l'épicycloïde à deux points de rebroussement : un cercle de rayon $a$ roule à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon $2 a$ . Son nom, qui signifie « en forme de rein », lui a été donné par Richard Proctor en 1878.
Longueur de la néphroïde : $L = 24 a$ ; aire : $A = 12 π a^{2}$ . C'est la caustique d'un cercle éclairé par des rayons parallèles : la courbe brillante qui se dessine au fond d'une tasse sous le soleil.

Deltoïde :
- Courbe paramétrée, en gris : x = 3cos(t), y = 3sin(t), pour t de 0 à 2pi.
- Courbe paramétrée, en violet : x = 2cos(t) + cos(2t), y = 2sin(t) - sin(2t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −5,7 à 5,7.
Néphroïde :
- Courbe paramétrée, en gris : x = 2cos(t), y = 2sin(t), pour t de 0 à 2pi.
- Courbe paramétrée, en orange : x = 3cos(t) - cos(3t), y = 3sin(t) - sin(3t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −7,5 à 7,5.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :