Exemple de courbe classique : cycloïde

Généralités

Représentation paramétrique : ${\begin{matrix} x = a (t - \sin t) \\ y = a (1 - \cos t) \end{matrix}$ (ici $a = 1$ ).
La cycloïde est la trajectoire d'un point d'un cercle de rayon $a$ qui roule sans glisser sur une droite, comme la valve d'une roue de vélo. Elle présente un point de rebroussement à chaque contact avec la droite, en $x = 2 k π a$ .
Longueur d'une arche : $L = 8 a$ ; aire sous une arche : $A = 3 π a^{2}$ , soit trois fois l'aire du cercle générateur (Roberval, 1634).
Retournée, c'est la courbe de descente la plus rapide entre deux points (brachistochrone, problème posé par Jean Bernoulli en 1696), et la courbe sur laquelle un objet atteint le point le plus bas en un temps indépendant de son point de départ (tautochrone, Huygens, 1659). Les nombreuses querelles qu'elle suscita lui valurent le surnom d'« Hélène des géomètres ».
Si le point est à une distance $d$ du centre, on obtient une trochoïde : $x = a t - d \sin t$ , $y = a - d \cos t$ , raccourcie (sans point singulier) pour $d < a$ , allongée (avec des boucles) pour $d > a$ .

Cycloïde :
- Courbe paramétrée, en rouge : x = t - sin(t), y = 1 - cos(t), pour t de 0 à 4pi.
- Courbe paramétrée, en gris : x = pi + cos(t), y = 1 + sin(t), pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −0,5 à 13,1.
Trochoïdes :
- Courbe paramétrée, en bleu : x = t - 0.5sin(t), y = 1 - 0.5cos(t), pour t de 0 à 4pi.
- Courbe paramétrée, en rouge : x = t - sin(t), y = 1 - cos(t), pour t de 0 à 4pi.
- Courbe paramétrée, en vert : x = t - 1.8sin(t), y = 1 - 1.8cos(t), pour t de 0 à 4pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2,5 à 15,1.

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :