Exemple de courbe classique : astroïde

Généralités

Représentation paramétrique : ${\begin{matrix} x = a \cos^{3} t \\ y = a \sin^{3} t \end{matrix}$ (ici $a = 1$ ).
Équation cartésienne : $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ .
L'astroïde est une hypocycloïde à quatre points de rebroussement : c'est la trajectoire d'un point d'un cercle de rayon $\frac{a}{4}$ qui roule sans glisser à l'intérieur d'un cercle fixe de rayon $a$ .
C'est aussi l'enveloppe d'un segment de longueur $a$ dont les extrémités glissent sur les deux axes, comme une échelle qui glisse le long d'un mur.
Longueur : $L = 6 a$ ; aire délimitée : $A = \frac{3 π a^{2}}{8}$ .

Astroïde :
- Courbe paramétrée : x = cos(t)^3, y = sin(t)^3, pour t de 0 à 2pi.
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Astroïde en coordonnées cartésiennes :
- Courbe paramétrée, en bleu : x = cos(t)^3, y = sin(t)^3, pour t de 0 à 2pi.
- Courbe cartésienne, en rouge : y = (1 - x^(2/3))^(3/2). Dérivée calculée par Tracium : -(1 - x^(2/3))^(1/2)/x^(1/3).
- Courbe cartésienne, en rouge : y = -(1 - x^(2/3))^(3/2). Dérivée calculée par Tracium : (1 - x^(2/3))^(1/2)/x^(1/3).
- Repère orthonormé, zone de travail : x de −2 à 2.
Pour aller plus loin : Tracium 3 sait calculer les puissances fractionnaires des nombres négatifs, par exemple (-8)^(1/3) = -2. La moitié supérieure de l'astroïde peut donc aussi se tracer comme une courbe cartésienne : y = (1 - x^(2/3))^(3/2).

Les fichiers permettant de reproduire avec Tracium les tracés ci-dessus sont disponibles (format Tracium 3) :